martes, 31 de diciembre de 2019
domingo, 29 de diciembre de 2019
Comedias Algebraicas
COMEDIAS ALGEBRAICAS
La sexta operación aritmética permite representar auténticas comedias y farsas algebraicas con los siguientes argumentos: 2 . 2 = 5; 2 = 3, etc. La gracia de tales representaciones algebraicas reside en un error, harto elemental, pero que, por hallarse muy oculto, tarda en ser descubierto.
Mostremos una pieza de este repertorio cómico del álgebra.
2 = 3
En primer lugar aparece en escena una igualdad indiscutible:
4 - 10 = 9 - 15
Se suma a ambos miembros de esta igualdad una misma cantidad, 
:
2 = 3.
¿En qué consiste el error?
(Extraído de Álgebra Recreativa de Y. PERELMAN)
sábado, 28 de diciembre de 2019
Convenio que tiene la UNMSM con otras universidades
https://drive.google.com/file/d/1OAGczJvePbnk4z1slhGBabq9qwdrY-gn/view?usp=sharing
domingo, 27 de octubre de 2019
domingo, 13 de octubre de 2019
viernes, 11 de octubre de 2019
domingo, 22 de septiembre de 2019
Análisis combinatorioI
ANÁLISIS
COMBINATORIO I
1. Pedro
desea escribir una carta a su mejor amiga, y para ello en su casa cuenta con 4
computadoras y 3 máquinas de escribir. ¿De cuántas maneras Pedro escribiría la
carta?
A) 3 B)
4 C) 7 D)
6 E)12
2.Vilma tiene
8 libros diferentes, pero solo caben 6 de ellos en la repisa de su dormitorio.
Señales de cuántas formas puede ordenar Vilma los 6 libros.
A) 20160 B)
10080 C) 48 D)
720 E) 1440
3. Seis
amigos (3 varones y 3 mujeres) acuden al cine y al momento de ubicarse encuentran
una fila de 6 asientos. Si se tiene en cuenta las siguientes consideraciones:
I. Las mujeres siempre quieren estar
juntas.
II. Los varones y mujeres quieren estar
intercalados.
Señale de cuántas formas diferentes podrán
ubicarse en dichos asientos, respectivamente.
A) 144; 36 B)
144; 144 C) 144; 72 D) 72; 72 E)
72;56
4. En la
carrera del Dakar participan 8 cuatrimotos. Dé como respuesta la suma de los
resultados obtenidos al desarrollar lo siguiente:
I. De cuántas formas diferentes se puede
asignar las posiciones de salida si ésta se realiza al azar. Considere que
salen de uno a uno.
II. De cuántas formas diferentes se podrá
premiar a los tres primeros puestos de esta carrera si se sabe que no hay
empate.
5. Siete
profesores asisten a una reunión, en donde la distribución de los asientos es
de manera circular. Halle de cuántas maneras, respectivamente, se podrán ubicar
los profesores en los siguientes casos.
I. Se pueden ubicar sin ninguna
restricción.
II. Dos profesores en particular se quieren
sentar juntos.
A) 360; 240 B)
720; 240 C) 720; 460 D) 360; 720 E)
120; 360
6. Seis
amigos (3 varones y 3 mujeres) van de campamento y se ubican alrededor de una
fogata. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir si se quiere que dos personas
del mismo sexo no estén juntas?
A) 6 B)
12 C) 120 D) 24 E) 48
7. Un grupo
de 6 personas desea distribuirse de la siguiente manera: uno de ellos estará en
el centro y los demás formarán un círculo. ¿De cuántas maneras se podrá
realizar la distribución?
A) 72 B)
240 C) 144 D) 120 E) 320
8. ¿Cuántas
palabras diferentes con sentido o sin sentido se pueden formar con todas las
letras de la palabra GAMARRA?
A) 240 B)
71 C) 420 D) 560 E)
280
9. Una moneda
se lanza 8 veces, y como resultado se tiene 3 caras y 5 sellos. ¿De cuántas
formas podría haber ocurrido esto?
A) 56 B)
15 C) 40 D)
28 E) 120
sábado, 21 de septiembre de 2019
jueves, 8 de agosto de 2019
La tesis doctoral
LA TESIS DOCTORAL
Un conejo estaba sentado delante de una cueva, escribiendo, cuando aparece un zorro.
- Hola, conejo, ¿qué haces ?
- Estoy escribiendo una tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros.
- Ja, ja, pero ¿qué dices ?
- ¿No te lo crees? Anda, ven conmigo dentro de la cueva...
Los dos entran, y al cabo de un ratito sale el conejo con la calavera del zorro y se pone a escribir. Al rato llega un lobo.
- Hola, conejo, ¿qué haces?
- Estoy escribiendo mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros y lobos.
- Ja, ja, qué bueno, ¡qué chiste más divertido!
- ¿Qué? ¿no te lo crees? ¡Anda, ven dentro de la cueva, que te voy a enseñar algo!
Al cabo de un rato sale el conejo con una calavera de lobo, y empieza otra vez a escribir. Después llega un oso.
- Hola, conejo, ¿que haces ?
- Estoy acabando de escribir mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros, lobos y osos.
- No te lo crees ni tú.
- Bueno, ¿a que no te metes en la cueva conmigo?
De nuevo se meten los dos en la cueva, y como era de esperar, un león enorme se tira encima del oso y se lo come. El conejo recoge la calavera
del oso, sale fuera y acaba su tesis.
Moraleja: Lo importante no es el contenido de tu tesis, sino escoger bien a tu director.
Los Tres Ceritos
Los Tres Ceritos
David Gutiérrez Rubio (Davidi)
Eranse una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro muy confiado.
Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico (la característica de un cuerpo es el menor entero n tal que 1+...+1(n veces)=0), que dependía del cuerpo donde vivían. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.
-"Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El congreso acaba de aprobar una ley conocida como `Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma.' que prohibe la estancia en el cuerpo de más de un cero."
-"¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse.", dijo uno de los ceritos.
-"Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe. Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que iros los tres."
Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir allí.
Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la construcción del espacio era
muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.
-"Yo me haré una casita con hiperplanos." dijo el cerito más confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin ningun tipo de rigor.
-"Yo me construiré una casa con matrices." dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución trivial.
-"Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que os comerá cuando tenga la oportunidad.", dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números! (segun la definición de divisibilidad, el cero no puede dividir a ningun número).
-"¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!."
-"Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y acotada.", y dicho esto, se marchó.
Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices.
Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dió cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.
Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor (como su casa era compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir de ahí construir la cota.
Como véis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.
Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.
-"Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas."
Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera). (Dado que todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro).
No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan, en este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así que fue hacia allí.
-"¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!.", amenazó la esfera.
-"No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará.", respondió el cerito.
Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un equipo estereográfico (la proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto).
Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes. El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito vago.
La malvada esfera salió corriendo detras del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite: En una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.
Al cabo de un rato llegó la esfera. Gritó:
-"¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podeis nada contra mí, salid inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa reduciré!."
-"No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará!.", respondió el cerito.
Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas (si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas), convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.
Pero ¿por qué era tan mala la esfera?. Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Moebius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.
Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un salto.
-"¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!."
-"No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo la esfera no puede hacernos daño.", dijo el cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.
Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos.) que iban dejando tras ellos.
Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:
-"¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y la casa despejaré!.".
-"Nunca", dijo el cerito sabio, "mi casa es fuerte y aguantará".
Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.
La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que recubrieron totalmente a la esfera dejando a ésta aprisionada.
Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva, y hecho esto la llevaron a R^2 donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural.
Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y menos confiados.
Y colorín, corolario colorado,
este cuento se ha terminado.
Divertimentos matemáticos
LA TESIS DOCTORAL
Un conejo estaba sentado delante de una cueva, escribiendo, cuando aparece un zorro.
- Hola, conejo, ¿qué haces ?
- Estoy escribiendo una tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros.
- Ja, ja, pero ¿qué dices ?
- ¿No te lo crees? Anda, ven conmigo dentro de la cueva...
Los dos entran, y al cabo de un ratito sale el conejo con la calavera del zorro y se pone a escribir. Al rato llega un lobo.
- Hola, conejo, ¿qué haces?
- Estoy escribiendo mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros y lobos.
- Ja, ja, qué bueno, ¡qué chiste más divertido!
- ¿Qué? ¿no te lo crees? ¡Anda, ven dentro de la cueva, que te voy a enseñar algo!
Al cabo de un rato sale el conejo con una calavera de lobo, y empieza otra vez a escribir. Después llega un oso.
- Hola, conejo, ¿que haces ?
- Estoy acabando de escribir mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros, lobos y osos.
- No te lo crees ni tú.
- Bueno, ¿a que no te metes en la cueva conmigo?
De nuevo se meten los dos en la cueva, y como era de esperar, un león enorme se tira encima del oso y se lo come. El conejo recoge la calavera
del oso, sale fuera y acaba su tesis.
Moraleja: Lo importante no es el contenido de tu tesis, sino escoger bien a tu director.
ROMANCE DE LA DERIVADA Y EL ARCOTANGENTE
ROMANCE DE LA DERIVADA Y EL ARCOTANGENTE
Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica, que además pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas. En seguida notaron que tenían propiedades comunes. Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta de que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor. Cuando el verano paso, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorones del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal. Hasta fueron al circo, donde vieron a una troupe de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios. Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos. Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenia en el campo complejo, el arcotangente compro un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gasto hasta el ultimo infinitésimo. Adorno las paredes con unas tablas de potencias de "e" preciosas, puso varios cuartos de divisiones del termino independiente que costaron una burrada. Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones mas conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollos tangenciales en flor. Y Bernouilli le presto su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado, el arcotangente se traslado al punto impropio y contemplo satisfecho su dominio de existencia. Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espeto, sin mas: - ¿Por qué no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamente? De paso lo conocerás, ha quedado monísimo. Ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve discusión del resultado, aceptó. El novio le enseño su dominio y quedo integrada. Los neperianos y una música armónica simple, hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así, miraron al espacio euclídeo. Los astroides rutilaban en la bóveda de Viviany... ¡Eran felices! - No sientes calor? - dijo ella - Yo si. ¿Y tú? - Yo también. - Ponte en forma canónica, estarás mas cómoda. Entonces el le fue quitando constantes. Después de artificiosas operaciones la puso en paramétricas racionales... - Que haces? Me da vergüenza... - dijo ella - Te amo, yo estoy inverso por ti...! Déjame besarte la ordenada en el origen...! No seas cruel...! ven...! Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos hacia el infinito... El la acaricio sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples... Al cabo de algún tiempo la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero. Ella le confeso a él, saliéndole los colores: - Voy a ser primitiva de otra función. El respondió: - Podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando. - Eso es que ya no me quieres! - No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formaran una superficie cerrada, confía en mi. La boda se preparó en un tiempo diferencial de t, para no dar que hablar en el circulo de los 9 puntos. Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una asiroide de noble asíntota. La novia lucia coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios. Oficio la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. monseñor Ricatti. Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fábrica de series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor. (Texto extraído de la revista de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid, allá por el año 1990. Firmado: "La jaca jacobiana")
Problemas de olimpiadas matemáticas
https://drive.google.com/file/d/1yxu8ueJSTn1P3-xuHn1OkOAvQwCeonZz/view?usp=sharing
jueves, 1 de agosto de 2019
domingo, 3 de febrero de 2019
Suscribirse a:
Comentarios (Atom)